De los círculos de Platón a las elipses de Kepler (7)

J. Kepler no estaba dispuesto a que Marte no encajara totalmente en su modelo, y elaboró otro (¡ el de las elipses !).

7) KEPLER FINAL: ELIPSES CON EL SOL CENTRADO EN UNO DE LOS FOCOS DE LA ELIPSE.

A' = A1 * (1 - (E_a)^2) / (1 - (E_a) * cos (d1 * T)

E_a = sqr [(A1)^2 - (A2)^2] / A1

d1 = L_a / (A')^2

B' = B1 * (1 - (E_b)^2)/ ( 1 - (E_b) * cos (d2 * N * T)

E_b = sqr [(B1)^2 - (B2)^2] / B1

d2 = L_b / (B')^2

de forma que la expresión general es:

x = A' * cos (d1 * T) + B' * cos (d2 * N * T)

y = A' * sin (d1 * T) + B' * sin (d2 * N * T)

He de destacar que el modelo anterior de Kepler como en el de las elipses parecen tener la misma expresión de los valores "x" e "y", pero los parámetros responden a relaciones totalmente diferentes.

Otro cuestión a destacar, es que en los modelos de Kepler ningún parámetro es constante, TODOS CAMBIAN.

De los círculos de Platón a las elipses de Kepler (6)

Pero Kepler de seguidor de Aristarco de Samos, pasa a seguidor del modelo Copernicano, pero no acaba ahí su evolución.
Se presenta ante Tycho Brahe decidido a ajustar a órbitas matemáticas los datos que le ofrezca Tycho Brahe.
El modelo de Copérnico no encaja con los datos de Tycho Brahe, y después de los esfuerzos que le ha costado a Nicolás Copérnico eliminar los ecuantes ...
J. Kepler reinstaura los ecuantes pero esta vez en torno al Sol.

6) KEPLER, discípulo de Tycho Brahe: ORBITA CIRCULAR EXCENTRICA AL SOL CON ECUANTES

"a" y "b" son deferentes y "c" y "d" son ecuantes.

A' = sqr (A^2 + a^2 - 2 * A * a * cos (d1 * T))

B' = sqr (B^2 + b^2 - 2 * B * b * cos (d2 * N * T))

d1 = (1/A) * sqr (A^2 + c^2 + 2 * A * c * cos (T))

d2 = (1/B) * sqr (B^2 + d^2 + 2 * B * d * cos (N * T))

de forma que la expresión general es:

x = A' * cos (d1 * T) + B' * cos (d2 * N * T)

y = A' * sin (d1 * T) + B' * sin (d2 * N * T)

De los círculos de Platón a las elipses de Kepler (5)

Nicolás Copérnico conoce el modelo de Aristarco de Samos (pero desconoce el modelo de los pitagóricos), y "reelabora" el modelo de los pitagóricos (1800 años después). El modelo de Copérnico permite no tener que recurrir a los ecuantes.

5) COPERNICO: ORBITA CIRCULAR EXCENTRICA AL SOL.
Es el modelo que apoya GALILEO GALILEI, y que también apoyará J. KEPLER en su etapa copernicana.
Y es el modelo al que llegaron también los Pitagóricos en el siglo IV a.C.

"a" y "b" ambos valores de las deferentes.

A' = sqr (A^2 + a^2 - 2 * A * a * cos (T))

B' = sqr (B^2 + b^2 - 2 * B * b * cos (N * T))

x = A' * cos (T) + B' * cos (N * T)

y = A' * sin (T) + B' * sin (N * T)

De los círculos de Platón a las elipses de Kepler (4)

En el siglo XIV (14), los astrónomos empiezan a darse cuenta de que las observaciones no encajan con el modelo de Ptolomeo e inventan el "ecuante".

4) PTOLEMAICOS: ORBITA EXCÉNTRICA A LA TIERRA, CON EPICICLO Y ECUANTE.

El ecuante: la velocidad angular es uniforme respecto de un punto excéntrico a la órbita, dicho punto recibe el nombre de ecuante, que expresaré como "b".

A' = sqr (A^2 + a^2 - 2 * A * a * cos (T))

d = (1/A) * sqr (A^2 + b^2 + 2 * A * b * cos (T))

de forma que nos queda:

x = A' * cos (d * T) + B * cos (N * T)
y = A' * sin (d * T) + B * sin (N * T)

De los círculos de Platón a las elipses de Kepler (3)

Los pitagóricos, mejorando la idea de Aristarco de Samos, en el siglo IV a.C. presentan la idea de una órbita excéntrica al Sol.
Ptolomeo, mejorando la idea de Aristóteles, en el siglo II d.C. presenta la idea de una órbita excéntrica a la Tierra y epiciclos. La expresión matemática NO es la misma.
Ya presentaré la expresión matemática de los pitagóricos más adelante pues coincide totalmente con la propuesta de Copérnico , de unos 1.800 años más tarde.

3) PTOLOMEO: ÓRBITA EXCÉNTRICA A LA TIERRA Y EPICICLO.
A' = sqr( A^2 + a^2 - 2 * A * a * cos (T)) siendo "a" el valor de la excentricidad a la Tierra o también llamada "deferente".

x = A' * cos (T) + B * cos (N * T)
y = A' * sin (T) + B * sin (N * T)

¿Porqué el modelo de Ptolomeo dura más de 1000 años y el modelo de los pitagóricos cae en el olvido?

Pues porque Plotomeo instaura la "primera falsedad científica".

¿Cómo lo consigue? Muy fácilmente, FALSIFICA TODAS SUS OBSERVACIONES haciendo que encajen a la perfección con sus cálculos teóricos (en el supuesto de que Ptolomeo efectuase observaciones).

De los círculos de Platón a las elipses de Kepler (2)

Se presentan dos alternativas, Aristarco de Samos proponiendo una órbita circular con centro en el Sol y Aristóteles con una órbita circular con centro en la Tierra más epiciclos (la expresión matemática es la misma):

2) ARISTARCO DE SAMOS: ORBITA CIRCULAR CON CENTRO EN EL SOL. ARISTÓTELES: ORBITA CIRCULAR CON CENTRO EN LA TIERRA MÁS UN EPICICLO.(siglo IV a.C.)

x = A * cos (T) + B * cos (N * T) siendo N = w1/w2,

siendo "w1" el epiciclo y "w2" el ciclo.

y = A * sin (T) + B * sin (N * T)

KEPLER INICIAL : Kepler es matemático, pero aún no es astrónomo y en su poco conocimiento se explica que inicialmente apoyara la propuesta de Aristarco de Samos.

De los círculos de Platón a las elipses de Kepler (1)

Creo que hay que prestar especial atención a la capacidad "pragmática"de Kepler que le permite cambiar constantemente sus ideas sobre las órbitas de los planetas.

1) Platón, siglo V a.C., ORBITA CIRCULAR CON CENTRO EN LA TIERRA.
"A" es el radio
"w" la velocidad angular
"t" el tiempo
"T" el ángulo, T = w * t.

Dicha órbita puesta en coordenadas cartesianas es:
x = A * cos (T)
y = A * sin (T)

No tardarian mucho en darse cuenta que estas órbitas eran inapropiadas.